Fonctions exponentielles de base a

1. Fonction exponentielle de base  \(a\)  

Nous avons rencontré l'expression \(a^x\) dans plusieurs cas particuliers :

• si  \(x\) est un entier naturel : \(a^5= a\times a\times a \times a\times a\)  ;
  
• si `x` est un entier strictement négatif : \(a^{-4}= \dfrac{1}{a^4}\)  ;
  
•  si \(x\) est un rationnel : \(a^{\frac{2}{3}}= (a^2)^{\frac{1}{3}}.\)
  

Il est possible d'étendre cette notation à tout réel `x≥0` et d'obtenir ainsi une fonction définie sur \([0~;+\infty[\) possédant les mêmes propriétés algébriques que les puissances déjà étudiées.

Définition

Soit `a` un réel strictement positif fixé.

La fonction \(x\mapsto a^x\) définie sur \([0~;+\infty[\) est appelée fonction exponentielle de base \(a\) .
 
Propriétés algébriques

Pour tout  `a>0` , \(b>0\) ,  \(x≥0\) et \(y≥0\) :
\(a^x>0~;a^0=1~;a^1=1~;a^x a^y=a^{x+y}\)  ;
\(a^x b^x=(ab)^{x}~; (a^x)^y=a^{xy}~; \dfrac{a^x}{ a^y}=a^{x-y}\)  si \(x>y\) .
2. Courbe représentative et variations de `f:x\mapsto a^x`

• Si \(a > 1\)  :
  

`f:x\mapsto a^x`  est strictement croissante sur `` \([0~;+\infty[\) . Si \(0, alors \(a^x.

• Si \(0 :
  

\(f:x\mapsto a^x\)  est strictement décroissante sur `` \([0~;+\infty[\) . Si \(0, alors \(a^y.

Remarque

Le sens de variation de la fonction `x\mapsto a^x` sur \([0~;+\infty[\) est le même que celui de la suite géométrique `(a^n)` . Plus précisément :

• Si `a>1` , la fonction \(x\mapsto a^x\) est strictement croissante sur \([0~;+\infty[\)  et la suite `(a^n)` est, elle aussi, strictement croissante.
  
• Si `0, la fonction \(x\mapsto a^x\) est strictement décroissante sur \([0~;+\infty[\)   et la suite `(a^n)` est, elle aussi, strictement décroissante.
  

3. Équations et fonctions exponentielles

Pour tout \(a>0\) , \(x≥0\) et \(y≥0\) :

• \(a^x=1\)  si et seulement si \(x=0\)  ;
  
• \(a^x=a\)  si et seulement si \(x=1\)  ;
  
• \(a^x=a^{y}\)  si et seulement si \(x=y\) .
  

Vers les mathématiques complémentaires

Si \(m>0\) , il est possible de résoudre l'équation \(a^x=m\) d'inconnue  `x` en utilisant la fonction logarithme népérien.